Epsilon-Delta definition of Limit #4

Brief explanation: This is the continuation of our study Epsilon-Delta proofs. Our previous proofs can be seen in the following links:

Enunciado    Epsilon-delta definition of Limit #1

 

enunciado   Epsilon-Delta definition of Limit #2

 

enunciado    Epsilon-Delta definition of Limit #3

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

Question: Prove the following limit:

enunciado.png

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

Comprehending/Solving: Again, let’s start with the statement we must always write!

For every ε > 0 there is some δ > 0 such that for all x,

if 0 < |x – a|< δ then |f(x) – l|< ε.

In our case, this translates into:

1.png

Now, for the next step we have to relate the two expressions. This can be done with a trick:

2.png

If you don’t find this intuitive, practice a bit these kind of limits. The clues are given, we just have to find the ‘bridge’ between the two expressions. Now we know that:

3

Now, let’s bound the delta expression and see the consequences on the denominator:

5.png

Using this expression we get:

6.png

This means that:

7.png

And our denominator is bounded! Notice that it is less than 1. Applying this:

8.png

And there we have it! Our delta and epsilon expressions are connected. Now, since we bounded our delta we can chose as follows:

9.png

And we’re done!

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

I’m a bit tired of making this epsilon-delta sequence of posts, so I think I’ll stop for a while. If you find some of this confusing, please comment with your doubts!

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s